Bab 8: Sistem Persamaan Linear

8.1 Deskripsi Bab

Bab ini membahas penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan metode numerik. Sistem persamaan linear sering muncul dalam bidang teknik elektro, misalnya pada analisis rangkaian listrik, analisis jaringan distribusi, pemodelan sistem tenaga, dan simulasi rangkaian elektronik.

Jika hanya terdapat satu persamaan dengan satu variabel, penyelesaian dapat dilakukan secara langsung. Namun, pada kasus nyata, sebuah sistem sering memiliki banyak persamaan dan banyak variabel yang saling berhubungan. Oleh karena itu, diperlukan metode yang sistematis.

Pada bab ini, Anda akan mempelajari bentuk matriks (Ax=b), matriks diperbesar, Eliminasi Gauss, konsep pivoting, serta pengantar dekomposisi LU.

---

8.2 Capaian Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. Menuliskan sistem persamaan linear dalam bentuk matriks (Ax=b).
2. Menyusun matriks diperbesar dari sistem persamaan linear.
3. Menjelaskan konsep Eliminasi Gauss.
4. Menggunakan Operasi Baris Elementer untuk membentuk matriks segitiga atas.
5. Melakukan substitusi balik untuk memperoleh solusi.
6. Menjelaskan pentingnya pivoting dalam perhitungan numerik.
7. Membedakan partial pivoting dan full pivoting.
8. Menjelaskan konsep dasar dekomposisi LU.
9. Menggunakan konsep substitusi maju dan substitusi balik pada dekomposisi LU.

---

8.3 Materi Inti

8.3.1 Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan yang variabelnya berpangkat satu. Contoh sistem tiga variabel adalah:

$$2x + y - z = 8$$ $$-3x - y + 2z = -11$$ $$-2x + y + 2z = -3$$

Sistem tersebut memiliki tiga variabel, yaitu (x), (y), dan (z). Tujuan penyelesaiannya adalah mencari nilai ketiga variabel yang memenuhi semua persamaan secara bersamaan.

---

8.3.2 Bentuk Matriks (Ax=b)

Sistem persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk matriks:

$$Ax=b$$

dengan:

Simbol	Makna
(A)	Matriks koefisien
(x)	Vektor variabel yang dicari
(b)	Vektor konstanta

Untuk sistem:

$$2x + y - z = 8$$ $$-3x - y + 2z = -11$$ $$-2x + y + 2z = -3$$

bentuk matriksnya adalah:

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$ $$x = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$$ $$b = \begin{bmatrix} 8 \\ -11 \\ -3 \end{bmatrix}$$

Sehingga:

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix} 8 \\ -11 \\ -3 \end{bmatrix}$$

---

8.3.3 Matriks Diperbesar

Matriks diperbesar atau augmented matrix adalah gabungan antara matriks koefisien (A) dan vektor konstanta (b). Matriks ini ditulis sebagai:

$$[A|b]$$

Contoh:

$$x + y + 2z = 9$$ $$2x + 4y - 3z = 1$$ $$3x + 6y - 5z = 0$$

Matriks diperbesarnya adalah:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 2 & 4 & -3 & 1 \\ 3 & 6 & -5 & 0 \end{array} \right]$$

Kolom di sebelah kiri garis vertikal merupakan koefisien variabel, sedangkan kolom di sebelah kanan merupakan konstanta.

---

8.3.4 Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan mengubah matriks diperbesar menjadi bentuk segitiga atas. Setelah bentuk segitiga atas diperoleh, solusi dicari menggunakan substitusi balik.

Tujuan Eliminasi Gauss adalah mengubah matriks seperti ini:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array} \right]$$

menjadi bentuk segitiga atas:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} u_{11} & u_{12} & u_{13} & c_1 \\ 0 & u_{22} & u_{23} & c_2 \\ 0 & 0 & u_{33} & c_3 \end{array} \right]$$

Bentuk segitiga atas memudahkan penyelesaian karena variabel paling bawah dapat dicari terlebih dahulu, lalu digunakan untuk mencari variabel di atasnya.

---

8.3.5 Operasi Baris Elementer

Operasi Baris Elementer atau OBE digunakan untuk membuat elemen di bawah pivot menjadi nol.

Rumus umum OBE adalah:

$$R_{\text{target}} \leftarrow R_{\text{target}} - mR_{\text{pivot}}$$

dengan pengali:

$$m = \frac{\text{angka target}}{\text{angka pivot}}$$

Keterangan:

Simbol	Makna
(R_{\text{target}})	Baris yang akan diubah
(R_{\text{pivot}})	Baris acuan
(m)	Pengali eliminasi
Pivot	Elemen utama yang digunakan untuk eliminasi

---

8.3.6 Langkah Eliminasi Gauss

Langkah umum Eliminasi Gauss adalah:

1. Susun sistem persamaan dalam bentuk matriks diperbesar.
2. Pilih elemen pivot pada kolom pertama.
3. Gunakan OBE untuk membuat elemen di bawah pivot menjadi nol.
4. Lanjutkan proses pada kolom berikutnya.
5. Bentuk matriks segitiga atas.
6. Gunakan substitusi balik untuk mencari nilai variabel.

---

8.3.7 Substitusi Balik

Substitusi balik digunakan setelah matriks berada dalam bentuk segitiga atas.

Misalkan diperoleh sistem:

$$x + y + 2z = 9$$ $$2y - 7z = -17$$ $$-0{,}5z = -1{,}5$$

Langkah penyelesaiannya dimulai dari baris terakhir:

$$-0{,}5z = -1{,}5$$ $$z=3$$

Lalu substitusi ke baris kedua:

$$2y - 7(3) = -17$$ $$2y = 4$$ $$y=2$$

Substitusi ke baris pertama:

$$x + 2 + 2(3) = 9$$ $$x=1$$

Jadi, solusinya adalah:

$$(x,y,z)=(1,2,3)$$

---

8.3.8 Pivoting

Pivoting adalah proses menukar baris atau kolom untuk memilih pivot yang lebih baik. Pivoting penting karena pivot yang bernilai nol atau sangat kecil dapat menyebabkan masalah numerik.

Masalah yang dapat terjadi:

Kondisi Pivot	Dampak
Pivot bernilai nol	Terjadi pembagian dengan nol
Pivot sangat kecil	Pengali menjadi sangat besar
Pengali sangat besar	Error pembulatan dapat membesar

Pivoting membantu menjaga stabilitas perhitungan, terutama ketika sistem diselesaikan menggunakan komputer.

---

8.3.9 Partial Pivoting dan Full Pivoting

Jenis Pivoting	Penjelasan
Partial pivoting	Memilih elemen terbesar berdasarkan nilai mutlak pada kolom pivot, lalu menukar baris.
Full pivoting	Memilih elemen terbesar berdasarkan nilai mutlak pada seluruh sisa matriks, lalu dapat menukar baris dan kolom.

Partial pivoting lebih sering digunakan karena lebih sederhana dan sudah cukup stabil untuk banyak kasus.

Langkah partial pivoting:

1. Lihat kolom pivot yang sedang diproses.
2. Cari elemen dengan nilai mutlak terbesar dari baris pivot ke bawah.
3. Tukar baris yang memiliki elemen terbesar ke posisi pivot.
4. Lanjutkan Eliminasi Gauss.

---

8.3.10 Mengapa Pivoting Meningkatkan Stabilitas?

Misalkan terdapat sistem dengan matriks awal:

$$\left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 8 \\ -5 & 10 & 5 \end{array} \right]$$

Jika pivot pertama adalah 2, maka pengali untuk baris kedua adalah:

$$m = \frac{-5}{2} = -2{,}5$$

Nilai mutlak pengali lebih besar dari 1, sehingga error pembulatan lebih mudah membesar.

Jika baris ditukar sehingga pivot pertama menjadi (-5), maka pengali menjadi:

$$m = \frac{2}{-5} = -0{,}4$$

Nilai mutlak pengali lebih kecil dari 1. Kondisi ini lebih stabil untuk perhitungan numerik.

---

8.3.11 Dekomposisi LU

Dekomposisi LU adalah metode yang memfaktorkan matriks (A) menjadi dua matriks:

$$A = LU$$

dengan:

Matriks	Makna
(L)	Lower triangular matrix atau matriks segitiga bawah
(U)	Upper triangular matrix atau matriks segitiga atas

Dalam metode Doolittle, matriks (L) memiliki nilai 1 pada diagonal utamanya.

Jika sistem awal adalah:

$$Ax=b$$

dan:

$$A=LU$$

maka:

$$LUx=b$$

Misalkan:

$$Ux=y$$

maka:

$$Ly=b$$

Penyelesaian dilakukan dalam dua tahap:

1. Selesaikan (Ly=b) dengan substitusi maju.
2. Selesaikan (Ux=y) dengan substitusi balik.

---

8.3.12 Mengapa Dekomposisi LU Berguna?

Dekomposisi LU sangat berguna jika kita harus menyelesaikan banyak sistem dengan matriks koefisien (A) yang sama, tetapi vektor konstanta (b) berbeda.

Contoh dalam teknik elektro:

• Topologi rangkaian tetap, tetapi sumber tegangan berubah.
• Matriks jaringan tetap, tetapi kondisi beban berubah.
• Sistem tenaga dianalisis pada beberapa skenario operasi.

Perbandingan:

Tanpa LU	Dengan LU
Eliminasi Gauss diulang untuk setiap (b) baru	Faktorisasi (A=LU) cukup dilakukan sekali
Lebih mahal secara komputasi	Lebih efisien untuk banyak sistem
Cocok untuk satu kasus	Cocok untuk kasus berulang

---

8.3.13 Perbandingan Metode

Metode	Karakteristik	Cocok Digunakan Ketika
Eliminasi Gauss tanpa pivoting	Sederhana dan langsung	Pengerjaan manual, pivot aman
Eliminasi Gauss dengan partial pivoting	Lebih stabil	Implementasi komputer
Dekomposisi LU	Faktorisasi sekali, digunakan berulang	Matriks (A) sama, vektor (b) berbeda

---

8.4 Fitur Interaktif

Bagian ini dapat digunakan sebagai rancangan komponen interaktif pada halaman web.

8.4.1 Input Matriks

Mahasiswa dapat memasukkan matriks koefisien dan vektor konstanta.

Contoh input:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & -3 \\ 3 & 6 & -5 \end{bmatrix}$$ $$b = \begin{bmatrix} 9 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Sistem kemudian menampilkan matriks diperbesar:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 2 & 4 & -3 & 1 \\ 3 & 6 & -5 & 0 \end{array} \right]$$

---

8.4.2 Highlight Pivot

Pada setiap langkah eliminasi, sistem menandai elemen pivot.

Contoh:

Langkah	Pivot	Aksi
1	(a_{11})	Buat nol elemen di bawah pivot kolom 1
2	(a_{22})	Buat nol elemen di bawah pivot kolom 2
3	(a_{33})	Lanjutkan ke substitusi balik

Fitur ini membantu mahasiswa memahami urutan proses Eliminasi Gauss.

---

8.4.3 Tombol Langkah Selanjutnya

Mahasiswa dapat menekan tombol Langkah Selanjutnya untuk melihat proses eliminasi secara bertahap.

Setiap klik menampilkan:

1. Pivot yang digunakan.
2. Pengali (m).
3. Operasi baris yang dilakukan.
4. Matriks terbaru.
5. Penjelasan singkat perubahan matriks.

Contoh tampilan operasi:

$$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$$ $$R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$$

---

8.4.4 Animasi Tukar Baris

Jika partial pivoting diaktifkan, sistem dapat menampilkan animasi pertukaran baris.

Contoh:

$$R_1 \leftrightarrow R_3$$

Tujuannya adalah menunjukkan bahwa pivoting bukan mengubah solusi, tetapi hanya mengubah urutan persamaan agar perhitungan lebih stabil.

---

8.4.5 Tampilkan Bentuk Segitiga Atas

Setelah eliminasi selesai, sistem menampilkan bentuk segitiga atas:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 2 & -7 & -17 \\ 0 & 0 & -0{,}5 & -1{,}5 \end{array} \right]$$

Kemudian sistem melanjutkan ke substitusi balik untuk memperoleh solusi.

---

8.4.6 Compare Mode

Compare mode dapat membandingkan:

1. Eliminasi Gauss tanpa pivoting.
2. Eliminasi Gauss dengan partial pivoting.
3. Dekomposisi LU.

Contoh tampilan:

Metode	Stabilitas	Jumlah Langkah	Catatan
Gauss tanpa pivoting	Sedang	Lebih sedikit	Berisiko jika pivot kecil
Gauss dengan pivoting	Tinggi	Sedikit lebih banyak	Lebih aman untuk komputer
LU	Tinggi	Efisien untuk kasus berulang	Cocok jika (A) tetap

---

8.5 Contoh Soal

Contoh 8.1 Eliminasi Gauss Tanpa Pivoting

Selesaikan sistem berikut:

$$x + y + 2z = 9$$ $$2x + 4y - 3z = 1$$ $$3x + 6y - 5z = 0$$

Penyelesaian

Matriks diperbesar:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 2 & 4 & -3 & 1 \\ 3 & 6 & -5 & 0 \end{array} \right]$$

Gunakan pivot pertama (a_{11}=1).

Untuk baris kedua:

$$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$$

Hasil:

$$R_2 = [0 \quad 2 \quad -7 \quad | \quad -17]$$

Untuk baris ketiga:

$$R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$$

Hasil:

$$R_3 = [0 \quad 3 \quad -11 \quad | \quad -27]$$

Matriks menjadi:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 2 & -7 & -17 \\ 0 & 3 & -11 & -27 \end{array} \right]$$

Gunakan pivot kedua (a_{22}=2).

Pengali:

$$m = \frac{3}{2}=1{,}5$$

Operasi:

$$R_3 \leftarrow R_3 - 1{,}5R_2$$

Hasil:

$$R_3 = [0 \quad 0 \quad -0{,}5 \quad | \quad -1{,}5]$$

Matriks segitiga atas:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 2 & -7 & -17 \\ 0 & 0 & -0{,}5 & -1{,}5 \end{array} \right]$$

Substitusi balik:

$$-0{,}5z=-1{,}5$$ $$z=3$$

Baris kedua:

$$2y - 7(3)=-17$$ $$2y=4$$ $$y=2$$

Baris pertama:

$$x + 2 + 2(3)=9$$ $$x=1$$

Jadi, solusi sistem adalah:

$$(x,y,z)=(1,2,3)$$

---

Contoh 8.2 Eliminasi Gauss dengan Partial Pivoting

Selesaikan sistem berikut:

$$0x + 2y + z = 4$$ $$x + y + 2z = 9$$ $$2x + 4y - 3z = 1$$

Penyelesaian

Matriks diperbesar awal:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 9 \\ 2 & 4 & -3 & 1 \end{array} \right]$$

Pivot pertama bernilai 0, sehingga perlu partial pivoting. Pada kolom pertama, nilai mutlak terbesar adalah 2 pada baris ketiga. Maka:

$$R_1 \leftrightarrow R_3$$

Matriks menjadi:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 2 & 1 & 4 \end{array} \right]$$

Eliminasi kolom pertama.

Pengali baris kedua:

$$m=\frac{1}{2}=0{,}5$$

Operasi:

$$R_2 \leftarrow R_2 - 0{,}5R_1$$

Hasil baris kedua:

$$[0 \quad -1 \quad 3{,}5 \quad | \quad 8{,}5]$$

Matriks menjadi:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & -3 & 1 \\ 0 & -1 & 3{,}5 & 8{,}5 \\ 0 & 2 & 1 & 4 \end{array} \right]$$

Pada kolom kedua, nilai mutlak terbesar dari baris kedua ke bawah adalah 2 pada baris ketiga. Maka:

$$R_2 \leftrightarrow R_3$$

Matriks menjadi:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 3{,}5 & 8{,}5 \end{array} \right]$$

Eliminasi kolom kedua.

Pengali baris ketiga:

$$m=\frac{-1}{2}=-0{,}5$$

Operasi:

$$R_3 \leftarrow R_3 - (-0{,}5)R_2$$

Hasil baris ketiga:

$$[0 \quad 0 \quad 4 \quad | \quad 10{,}5]$$

Bentuk segitiga atas:

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 10{,}5 \end{array} \right]$$

Substitusi balik:

$$4z=10{,}5$$ $$z=2{,}625$$

Baris kedua:

$$2y+z=4$$ $$2y+2{,}625=4$$ $$y=0{,}6875$$

Baris pertama:

$$2x+4y-3z=1$$ $$2x+4(0{,}6875)-3(2{,}625)=1$$ $$2x+2{,}75-7{,}875=1$$ $$2x=6{,}125$$ $$x=3{,}0625$$

Jadi, solusi sistem adalah:

$$(x,y,z)=(3{,}0625,\;0{,}6875,\;2{,}625)$$

---

Contoh 8.3 Konsep Dekomposisi LU

Misalkan matriks (A) dapat difaktorkan menjadi:

$$A=LU$$

dan sistem yang akan diselesaikan adalah:

$$Ax=b$$

Maka:

$$LUx=b$$

Misalkan:

$$Ux=y$$

maka:

$$Ly=b$$

Penyelesaiannya dilakukan dengan dua tahap:

1. Selesaikan (Ly=b) menggunakan substitusi maju.
2. Selesaikan (Ux=y) menggunakan substitusi balik.

Interpretasi

Dekomposisi LU sangat efisien jika matriks (A) tetap, tetapi vektor (b) berubah. Dalam analisis rangkaian, ini dapat terjadi ketika struktur rangkaian tetap, tetapi nilai sumber atau beban berubah.

---

8.6 Kuis

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat.

1. Bentuk umum sistem persamaan linear dalam matriks adalah...

   a. (Ax=b)
   b. (A+b=x)
   c. (x=A-b)
   d. (A=x/b)

2. Pada bentuk (Ax=b), matriks (A) menyatakan...

   a. Variabel yang dicari
   b. Koefisien sistem persamaan
   c. Hasil akhir sistem
   d. Error perhitungan

3. Matriks diperbesar ditulis sebagai...

   a. ([A+b])
   b. ([A|b])
   c. ([x|b])
   d. ([A|x])

4. Tujuan utama Eliminasi Gauss adalah...

   a. Mengubah sistem menjadi bentuk segitiga atas
   b. Mengubah semua elemen menjadi nol
   c. Mengubah matriks menjadi skalar
   d. Menghapus semua variabel

5. Operasi Baris Elementer digunakan untuk...

   a. Membuat elemen di bawah pivot menjadi nol
   b. Mengubah semua angka menjadi positif
   c. Menghilangkan konstanta
   d. Mengubah matriks menjadi vektor

6. Pivoting diperlukan ketika...

   a. Pivot bernilai nol atau sangat kecil
   b. Semua pivot sudah besar
   c. Sistem hanya memiliki satu variabel
   d. Tidak ada error pembulatan

7. Partial pivoting berarti...

   a. Menukar seluruh matriks dengan vektor konstanta
   b. Memilih elemen terbesar pada kolom pivot berdasarkan nilai mutlak
   c. Menghapus kolom pivot
   d. Mengubah semua elemen diagonal menjadi nol

8. Dekomposisi LU memfaktorkan matriks (A) menjadi...

   a. (A=L+U)
   b. (A=L-U)
   c. (A=LU)
   d. (A=U/L)

9. Pada dekomposisi LU, matriks (L) adalah...

   a. Matriks segitiga bawah
   b. Matriks segitiga atas
   c. Vektor konstanta
   d. Matriks identitas selalu

10. Dekomposisi LU sangat berguna ketika...

a. Matriks (A) berubah setiap waktu
b. Matriks (A) sama, tetapi vektor (b) berbeda-beda
c. Sistem tidak memiliki solusi
d. Semua elemen matriks bernilai nol

---

8.7 Latihan

Kerjakan latihan berikut secara sistematis.

1. Tuliskan sistem berikut dalam bentuk matriks (Ax=b):

   $$2x + y - z = 5$$ $$x - 3y + 2z = -4$$ $$3x + 2y + z = 10$$

2. Susun matriks diperbesar dari sistem pada latihan nomor 1.

3. Selesaikan sistem berikut menggunakan Eliminasi Gauss tanpa pivoting:

   $$x + 2y = 5$$ $$3x + 4y = 11$$

4. Selesaikan sistem berikut menggunakan Eliminasi Gauss:

   $$x + y + z = 6$$ $$2x + 3y + z = 11$$ $$x + 2y + 3z = 14$$

5. Jelaskan mengapa pivot yang sangat kecil dapat memperbesar error pembulatan.

6. Diberikan matriks diperbesar:

   $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 2 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 10 \\ 1 & 4 & 2 & 8 \end{array} \right]$$

   Tentukan baris mana yang harus menjadi pivot pertama jika menggunakan partial pivoting.

7. Jelaskan perbedaan partial pivoting dan full pivoting.

8. Jelaskan dengan contoh singkat mengapa dekomposisi LU efisien untuk menyelesaikan beberapa sistem dengan matriks koefisien yang sama.

---

8.8 Rangkuman

1. Sistem persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk matriks (Ax=b).
2. Matriks (A) berisi koefisien, vektor (x) berisi variabel yang dicari, dan vektor (b) berisi konstanta.
3. Matriks diperbesar ([A|b]) digunakan untuk memudahkan proses eliminasi.
4. Eliminasi Gauss mengubah matriks diperbesar menjadi bentuk segitiga atas.
5. Operasi Baris Elementer digunakan untuk membuat elemen di bawah pivot menjadi nol.
6. Setelah bentuk segitiga atas diperoleh, solusi dicari dengan substitusi balik.
7. Pivoting diperlukan untuk menghindari pembagian dengan nol dan mengurangi risiko pembesaran error pembulatan.
8. Partial pivoting memilih elemen terbesar pada kolom pivot berdasarkan nilai mutlak.
9. Dekomposisi LU memfaktorkan matriks (A) menjadi (A=LU).
10. Dekomposisi LU menyelesaikan sistem melalui dua tahap, yaitu substitusi maju pada (Ly=b) dan substitusi balik pada (Ux=y).
11. Dekomposisi LU efisien untuk banyak sistem yang memiliki matriks koefisien sama, tetapi vektor konstanta berbeda.