Bab 12: Optimasi Numerik

12.1 Deskripsi Bab

Bab ini membahas optimasi numerik, yaitu metode untuk mencari nilai terbaik dari suatu fungsi. Nilai terbaik dapat berupa nilai maksimum atau nilai minimum, tergantung tujuan masalah.

Dalam kehidupan nyata dan bidang teknik, optimasi sering digunakan untuk mencari solusi paling efisien. Misalnya, memilih nilai komponen rangkaian agar rugi daya minimum, mencari titik daya maksimum pada panel surya, menentukan parameter kontroler PID, atau mencari desain antena dengan gain terbaik.

Pada bab ini, Anda akan mempelajari konsep dasar optimasi, elemen penting dalam masalah optimasi, perbedaan optimasi dan pencarian akar, optimasi klasik dengan kalkulus, serta metode Golden Section Search untuk optimasi satu variabel tanpa menggunakan turunan.

---

12.2 Capaian Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. Menjelaskan pengertian optimasi numerik.
2. Mengidentifikasi elemen utama dalam masalah optimasi.
3. Membedakan masalah maksimasi dan minimasi.
4. Membedakan optimasi dan pencarian akar.
5. Menjelaskan konsep fungsi unimodal dan multimodal.
6. Menerapkan syarat perlu dan syarat cukup pada optimasi klasik.
7. Menjelaskan prinsip kerja Golden Section Search.
8. Menerapkan Golden Section Search secara iteratif.
9. Menjelaskan aplikasi optimasi dalam teknik elektro.

---

12.3 Materi Inti

12.3.1 Apa Itu Optimasi?

Optimasi adalah proses mencari nilai variabel yang membuat suatu fungsi mencapai nilai terbaik. Nilai terbaik dapat berarti nilai paling besar atau nilai paling kecil.

Jika tujuannya mencari nilai terbesar, maka masalahnya disebut maksimasi. Jika tujuannya mencari nilai terkecil, maka masalahnya disebut minimasi.

Contoh:

Masalah	Jenis Optimasi
Mencari keuntungan terbesar	Maksimasi
Mencari biaya produksi terkecil	Minimasi
Mencari daya maksimum panel surya	Maksimasi
Mencari rugi daya terkecil pada saluran	Minimasi
Mencari error terkecil pada sistem kendali	Minimasi

Secara umum, masalah optimasi dapat ditulis sebagai:

$$\text{maksimumkan atau minimumkan } f(x)$$

dengan (x) sebagai variabel yang dapat diubah.

---

12.3.2 Elemen Penting Optimasi

Masalah optimasi memiliki tiga elemen utama.

Elemen	Penjelasan	Contoh
Objective function	Fungsi tujuan yang ingin dimaksimumkan atau diminimumkan	Daya, biaya, error, efisiensi
Decision variable	Variabel yang dapat diatur atau dipilih	Tegangan, arus, ukuran komponen
Constraint	Batasan yang harus dipenuhi	Tegangan maksimum, biaya, standar keamanan

Contoh sederhana:

Sebuah panel surya menghasilkan daya (P(V)), dan kita ingin mencari tegangan (V) yang menghasilkan daya maksimum.

Maka:

Elemen	Isi
Objective function	Maksimumkan (P(V))
Decision variable	Tegangan operasi (V)
Constraint	(V) berada pada rentang aman, misalnya (10 \leq V \leq 20)

---

12.3.3 Jenis-Jenis Masalah Optimasi

Masalah optimasi dapat diklasifikasikan berdasarkan beberapa sudut pandang.

Jenis	Penjelasan
Optimasi tanpa kendala	Tidak ada batasan khusus pada variabel
Optimasi berkendala	Variabel harus memenuhi batas tertentu
Optimasi satu variabel	Hanya satu variabel keputusan
Optimasi multivariabel	Memiliki lebih dari satu variabel keputusan
Optimasi kontinu	Variabel dapat mengambil nilai real
Optimasi diskret	Variabel hanya dapat mengambil nilai tertentu
Optimasi statis	Tidak bergantung pada waktu
Optimasi dinamis	Melibatkan perubahan terhadap waktu

Pada bab ini, fokus utama adalah optimasi satu variabel tanpa kendala pada interval tertentu.

---

12.3.4 Optimasi vs Pencarian Akar

Optimasi sering disamakan dengan pencarian akar, padahal keduanya memiliki tujuan berbeda.

Pencarian Akar	Optimasi
Mencari (x) sehingga (f(x)=0)	Mencari (x) sehingga (f(x)) maksimum atau minimum
Titik yang dicari adalah titik potong sumbu (x)	Titik yang dicari adalah puncak atau lembah kurva
Contoh metode: Bisection, Regula Falsi, Newton-Raphson	Contoh metode: Golden Section Search

Namun, keduanya tetap berhubungan. Dalam optimasi klasik, titik optimum sering dicari dengan menyelesaikan:

$$f'(x)=0$$

Artinya, optimasi dapat berubah menjadi pencarian akar dari turunan pertama fungsi.

---

12.3.5 Fungsi Unimodal dan Multimodal

Sebelum memilih metode optimasi, kita perlu memahami bentuk fungsi.

Fungsi Unimodal

Fungsi unimodal adalah fungsi yang hanya memiliki satu titik ekstrem pada interval yang diamati. Titik ekstrem tersebut dapat berupa satu maksimum atau satu minimum.

Golden Section Search cocok digunakan pada fungsi unimodal karena interval pencarian dapat dipersempit secara sistematis menuju satu titik optimum.

Fungsi Multimodal

Fungsi multimodal adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu titik ekstrem pada interval yang diamati. Fungsi seperti ini lebih sulit dioptimalkan karena metode pencarian dapat berhenti pada optimum lokal.

Jenis Fungsi	Ciri Utama
Unimodal	Satu titik maksimum atau minimum pada interval
Multimodal	Lebih dari satu titik ekstrem
Convex	Bentuk seperti mangkuk, cocok untuk minimasi
Concave	Bentuk seperti bukit, cocok untuk maksimasi

---

12.3.6 Optimasi Klasik dengan Kalkulus

Optimasi klasik menggunakan turunan untuk mencari titik optimum. Langkah dasarnya adalah:

1. Hitung turunan pertama (f'(x)).

2. Cari titik stasioner dengan menyelesaikan:

   $$f'(x)=0$$

3. Gunakan turunan kedua (f''(x)) untuk menentukan jenis titik.

Aturan turunan kedua:

Kondisi	Kesimpulan
(f''(x^*)>0)	Minimum lokal
(f''(x^*)<0)	Maksimum lokal
(f''(x^*)=0)	Perlu uji turunan lebih tinggi

Titik stasioner belum tentu maksimum atau minimum. Jika turunan kedua bernilai nol, titik tersebut bisa saja merupakan titik belok.

---

12.3.7 Contoh Optimasi Klasik

Cari titik maksimum dan minimum lokal dari fungsi:

$$f(x)=x^3-3x$$

Penyelesaian

Turunan pertama:

$$f'(x)=3x^2-3$$

Syarat perlu:

$$3x^2-3=0$$ $$x^2=1$$ $$x=-1 \quad \text{atau} \quad x=1$$

Turunan kedua:

$$f''(x)=6x$$

Uji titik stasioner:

Untuk (x=-1):

$$f''(-1)=-6<0$$

Maka (x=-1) adalah maksimum lokal.

Nilai fungsi:

$$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2$$

Untuk (x=1):

$$f''(1)=6>0$$

Maka (x=1) adalah minimum lokal.

Nilai fungsi:

$$f(1)=1^3-3(1)=-2$$

Kesimpulan:

Titik	Jenis	Nilai Fungsi
(x=-1)	Maksimum lokal	(f(-1)=2)
(x=1)	Minimum lokal	(f(1)=-2)

---

12.3.8 Keterbatasan Optimasi Klasik

Optimasi klasik sangat berguna jika fungsi dapat diturunkan dengan mudah. Namun, dalam masalah nyata, fungsi tidak selalu tersedia dalam bentuk eksplisit.

Beberapa keterbatasannya:

Keterbatasan	Penjelasan
Membutuhkan turunan	Tidak semua fungsi mudah diturunkan
Sulit untuk fungsi hasil simulasi	Fungsi mungkin hanya berupa output program
Kurang praktis untuk data eksperimen	Data tidak selalu berbentuk persamaan
Dapat rumit untuk fungsi kompleks	Turunan pertama dan kedua bisa sulit dihitung

Karena itu, metode optimasi numerik seperti Golden Section Search menjadi penting.

---

12.3.9 Metode Golden Section Search

Golden Section Search adalah metode optimasi numerik satu variabel yang bekerja dengan mempersempit interval pencarian secara bertahap.

Metode ini memiliki beberapa kelebihan:

1. Tidak membutuhkan turunan fungsi.
2. Cocok untuk fungsi unimodal.
3. Bekerja pada interval tertutup.
4. Konvergensinya stabil dan mudah diprediksi.
5. Cocok untuk fungsi yang hanya dapat dievaluasi secara numerik.

Golden Section Search menggunakan rasio emas:

$$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}61803$$

Konstanta yang digunakan adalah:

$$R=\frac{1}{\phi}\approx 0{,}61803$$

---

12.3.10 Algoritma Golden Section Search

Misalkan kita ingin mencari titik optimum pada interval:

$$[a,b]$$

Langkah-langkah Golden Section Search adalah:

1. Tentukan interval awal ([a,b]).

2. Hitung:

   $$d=R(b-a)$$

   dengan:

   $$R \approx 0{,}618$$

3. Tentukan dua titik uji:

   $$x_1=b-d$$ $$x_2=a+d$$

4. Hitung nilai (f(x_1)) dan (f(x_2)).

5. Persempit interval berdasarkan tujuan maksimasi atau minimasi.

6. Ulangi sampai interval cukup kecil atau toleransi terpenuhi.

---

12.3.11 Aturan Maksimasi dan Minimasi

Aturan pengurangan interval bergantung pada tujuan optimasi.

Tujuan	Kondisi	Interval Baru
Maksimasi	(f(x_1)>f(x_2))	Buang sisi kanan, gunakan ([a,x_2])
Maksimasi	(f(x_1)<f(x_2))	Buang sisi kiri, gunakan ([x_1,b])
Minimasi	(f(x_1)<f(x_2))	Buang sisi kanan, gunakan ([a,x_2])
Minimasi	(f(x_1)>f(x_2))	Buang sisi kiri, gunakan ([x_1,b])

Aturan singkatnya:

• Pada maksimasi, pertahankan sisi dengan nilai fungsi lebih tinggi.
• Pada minimasi, pertahankan sisi dengan nilai fungsi lebih rendah.

---

12.3.12 Kriteria Konvergensi

Iterasi Golden Section Search dapat dihentikan jika salah satu kondisi berikut terpenuhi.

1. Lebar interval sudah kecil

$$|b-a|<\varepsilon$$

2. Galat relatif sudah kecil

$$\left|\frac{b-a}{(a+b)/2}\right|<\varepsilon$$

3. Jumlah iterasi maksimum tercapai

Kriteria ini digunakan agar program tidak berjalan tanpa henti.

Setelah iterasi berhenti, titik optimum dapat diperkirakan dengan titik tengah interval terakhir:

$$x^*=\frac{a+b}{2}$$

Nilai optimumnya adalah:

$$f(x^*)$$

---

12.3.13 Aplikasi Optimasi dalam Teknik Elektro

Optimasi memiliki banyak penerapan dalam teknik elektro.

Aplikasi	Tujuan Optimasi
Maximum Power Point Tracking	Mencari daya maksimum panel surya
Optimasi efisiensi rangkaian	Meminimalkan rugi daya atau memaksimalkan bandwidth
Tuning kontroler PID	Meminimalkan error sistem kendali
Penjadwalan beban listrik	Meminimalkan biaya energi
Optimasi antena	Memaksimalkan gain pada frekuensi tertentu

Golden Section Search cocok digunakan ketika fungsi yang dievaluasi tidak memiliki rumus turunan yang jelas, misalnya fungsi hasil simulasi rangkaian atau hasil pengukuran eksperimen.

---

12.4 Fitur Interaktif

Bagian ini dapat digunakan sebagai rancangan komponen interaktif pada halaman web.

12.4.1 Simulator Golden Section Search

Input yang disediakan:

• Fungsi (f(x))
• Interval awal ([a,b])
• Tujuan optimasi:
  • Maksimasi
  • Minimasi
• Toleransi error
• Jumlah iterasi maksimum

Output yang ditampilkan:

• Titik uji (x_1) dan (x_2)
• Nilai (f(x_1)) dan (f(x_2))
• Interval baru
• Titik optimum hampiran
• Tabel iterasi

---

12.4.2 Graph Panel

Graph panel menampilkan:

1. Kurva fungsi (f(x)).
2. Interval awal ([a,b]).
3. Titik uji (x_1) dan (x_2).
4. Interval yang dibuang.
5. Interval yang dipertahankan.
6. Titik optimum hampiran.

Visualisasi ini membantu mahasiswa memahami bahwa Golden Section Search bekerja dengan menyempitkan interval secara bertahap.

---

12.4.3 Tabel Iterasi

Contoh tabel iterasi:

Iterasi	(a)	(b)	(x_1)	(x_2)	(f(x_1))	(f(x_2))	Aksi
1	0,000	4,000	1,528	2,472	1,223	1,223	Buang sisi kanan
2	0,000	2,472	0,944	1,528	2,116	1,223	Buang sisi kiri

---

12.4.4 Slider Interval

Mahasiswa dapat mengubah batas interval awal ([a,b]). Sistem kemudian menampilkan perubahan posisi titik (x_1), (x_2), dan hasil optimum.

Fitur ini membantu mahasiswa memahami bahwa pemilihan interval awal penting, terutama pada fungsi multimodal.

---

12.4.5 Mini Quiz Interaktif

Contoh pertanyaan interaktif:

1. Apa tujuan optimasi?
2. Apa perbedaan maksimasi dan minimasi?
3. Apa yang dimaksud fungsi unimodal?
4. Mengapa Golden Section Search tidak membutuhkan turunan?
5. Jika tujuan minimasi dan (f(x_1)>f(x_2)), interval mana yang dipertahankan?

---

12.5 Contoh Soal

Contoh 12.1 Identifikasi Elemen Optimasi

Sebuah perusahaan ingin meminimalkan rugi-rugi daya pada saluran transmisi dengan memilih luas penampang kabel. Kabel yang lebih besar dapat mengurangi rugi-rugi daya, tetapi biayanya lebih mahal. Anggaran maksimum adalah Rp50 juta.

Identifikasi elemen optimasinya.

Penyelesaian

Elemen	Identifikasi
Objective function	Meminimalkan rugi-rugi daya (P_{\text{loss}}=I^2R)
Decision variable	Luas penampang kabel
Constraint	Biaya kabel (\leq) Rp50 juta dan luas penampang harus memenuhi standar teknis

Jadi, masalah ini termasuk optimasi berkendala karena terdapat batas anggaran dan standar teknis yang harus dipenuhi.

---

Contoh 12.2 Optimasi Klasik

Cari titik maksimum dan minimum lokal dari fungsi:

$$f(x)=x^3-3x$$

Penyelesaian

Turunan pertama:

$$f'(x)=3x^2-3$$

Syarat perlu:

$$3x^2-3=0$$ $$x=-1 \quad \text{atau} \quad x=1$$

Turunan kedua:

$$f''(x)=6x$$

Untuk (x=-1):

$$f''(-1)=-6<0$$

Maka (x=-1) adalah maksimum lokal.

Untuk (x=1):

$$f''(1)=6>0$$

Maka (x=1) adalah minimum lokal.

Nilai fungsi:

$$f(-1)=2$$ $$f(1)=-2$$

Kesimpulan:

Titik	Jenis
((-1,2))	Maksimum lokal
((1,-2))	Minimum lokal

---

Contoh 12.3 Golden Section Search untuk Minimasi

Gunakan Golden Section Search untuk meminimalkan fungsi:

$$f(x)=(x-2)^2+1$$

pada interval:

$$[0,4]$$

Lakukan dua iterasi.

Penyelesaian

Gunakan:

$$R=0{,}618$$

Iterasi 1

Diketahui:

$$a=0,\quad b=4$$

Hitung:

$$d=0{,}618(4-0)=2{,}472$$

Titik uji:

$$x_1=b-d=4-2{,}472=1{,}528$$ $$x_2=a+d=0+2{,}472=2{,}472$$

Nilai fungsi:

$$f(1{,}528)=(1{,}528-2)^2+1\approx 1{,}223$$ $$f(2{,}472)=(2{,}472-2)^2+1\approx 1{,}223$$

Karena nilainya sama, salah satu sisi dapat dibuang. Misalkan sisi kanan dibuang, maka interval baru:

$$[0,2{,}472]$$

Iterasi 2

Diketahui:

$$a=0,\quad b=2{,}472$$

Hitung:

$$d=0{,}618(2{,}472-0)\approx 1{,}528$$

Titik uji:

$$x_1=2{,}472-1{,}528=0{,}944$$ $$x_2=0+1{,}528=1{,}528$$

Nilai fungsi:

$$f(0{,}944)=(0{,}944-2)^2+1\approx 2{,}116$$ $$f(1{,}528)=(1{,}528-2)^2+1\approx 1{,}223$$

Karena tujuan adalah minimasi, pertahankan sisi dengan nilai fungsi lebih kecil. Maka sisi kiri dibuang dan interval baru:

$$[0{,}944,2{,}472]$$

Ringkasan:

Iterasi	(a)	(b)	(x_1)	(x_2)	(f(x_1))	(f(x_2))	Interval Baru
1	0,000	4,000	1,528	2,472	1,223	1,223	([0,2{,}472])
2	0,000	2,472	0,944	1,528	2,116	1,223	([0{,}944,2{,}472])

Minimum sebenarnya berada di sekitar:

$$x=2$$

Iterasi berikutnya akan terus mempersempit interval menuju titik tersebut.

---

12.6 Kuis

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat.

1. Optimasi adalah proses untuk...

   a. Mencari nilai (x) sehingga (f(x)=0)
   b. Mencari nilai terbaik dari suatu fungsi
   c. Mengubah matriks menjadi segitiga atas
   d. Menghitung luas daerah di bawah kurva

2. Jika tujuan masalah adalah mencari nilai terbesar, maka disebut...

   a. Minimasi
   b. Maksimasi
   c. Interpolasi
   d. Diferensiasi

3. Tiga elemen utama optimasi adalah...

   a. Variabel, grafik, dan tabel
   b. Objective function, decision variable, dan constraint
   c. Integral, turunan, dan matriks
   d. Error, residual, dan SSE

4. Optimasi berbeda dari pencarian akar karena optimasi mencari...

   a. Titik potong sumbu (x)
   b. Nilai maksimum atau minimum fungsi
   c. Nilai (x) agar (f(x)=0)
   d. Bilangan biner dari fungsi

5. Syarat perlu titik optimum pada optimasi klasik adalah...

   a. (f(x)=0)
   b. (f'(x)=0)
   c. (f''(x)=0) selalu
   d. (x=0)

6. Jika (f''(x^*)>0), maka titik tersebut adalah...

   a. Maksimum lokal
   b. Minimum lokal
   c. Titik belok pasti
   d. Tidak dapat dihitung

7. Golden Section Search menggunakan konstanta sekitar...

   a. (0{,}5)
   b. (0{,}618)
   c. (1{,}414)
   d. (3{,}14)

8. Kelebihan utama Golden Section Search adalah...

   a. Membutuhkan turunan pertama dan kedua
   b. Tidak membutuhkan turunan fungsi
   c. Hanya berlaku untuk fungsi linear
   d. Selalu menemukan semua titik optimum pada fungsi multimodal

9. Pada maksimasi, jika (f(x_1)>f(x_2)), maka interval yang dipertahankan adalah...

   a. ([a,x_2])
   b. ([x_1,b])
   c. ([x_1,x_2])
   d. ([a,b]) tanpa perubahan

10. Fungsi unimodal adalah fungsi yang...

a. Memiliki satu titik ekstrem pada interval yang diamati
b. Memiliki banyak titik ekstrem
c. Tidak dapat digambar
d. Selalu menurun

---

12.7 Latihan

Kerjakan latihan berikut secara sistematis.

1. Identifikasi objective function, decision variable, dan constraint pada kasus berikut: panel surya menghasilkan daya (P(V)) tergantung tegangan operasi (V). Tujuannya adalah mencari tegangan operasi yang memaksimalkan daya dengan syarat (10 \leq V \leq 20).

2. Untuk fungsi:

   $$f(x)=2x^3-9x^2+12x+3$$

   carilah semua titik stasioner dan klasifikasikan setiap titik sebagai maksimum lokal, minimum lokal, atau titik belok.

3. Gunakan Golden Section Search untuk mencari nilai (x) yang memaksimalkan fungsi:

   $$f(x)=x-0{,}1x^3$$

   pada interval:

   $$[0,3]$$

   Lakukan tiga iterasi.

4. Gunakan Golden Section Search untuk meminimalkan fungsi:

   $$f(x)=e^x+x^2$$

   pada interval:

   $$[-2,2]$$

   Lakukan tiga iterasi.

5. Jelaskan mengapa Golden Section Search cocok digunakan untuk Maximum Power Point Tracking pada panel surya.

6. Jelaskan perbedaan fungsi unimodal dan multimodal. Mengapa fungsi multimodal lebih sulit dioptimalkan?

---

12.8 Rangkuman

1. Optimasi adalah proses mencari solusi terbaik dari suatu fungsi tujuan.
2. Nilai terbaik dapat berupa maksimum atau minimum.
3. Tiga elemen utama optimasi adalah objective function, decision variable, dan constraint.
4. Optimasi berbeda dari pencarian akar. Pencarian akar mencari (f(x)=0), sedangkan optimasi mencari nilai maksimum atau minimum dari (f(x)).
5. Optimasi klasik menggunakan turunan pertama untuk mencari titik stasioner.
6. Syarat perlu titik optimum adalah (f'(x^*)=0).
7. Turunan kedua digunakan untuk mengklasifikasikan titik stasioner.
8. Jika (f''(x^*)>0), titik tersebut adalah minimum lokal.
9. Jika (f''(x^*)<0), titik tersebut adalah maksimum lokal.
10. Golden Section Search adalah metode optimasi numerik satu variabel yang tidak membutuhkan turunan.
11. Golden Section Search cocok untuk fungsi unimodal pada interval tertutup.
12. Golden Section Search menggunakan konstanta (R \approx 0{,}618).
13. Pada setiap iterasi, dua titik uji digunakan untuk menentukan bagian interval yang dibuang.
14. Pada maksimasi, interval yang dipertahankan adalah sisi dengan nilai fungsi lebih tinggi.
15. Pada minimasi, interval yang dipertahankan adalah sisi dengan nilai fungsi lebih rendah.
16. Optimasi banyak digunakan dalam teknik elektro, seperti MPPT panel surya, optimasi efisiensi rangkaian, tuning PID, penjadwalan beban listrik, dan optimasi antena.