Bab 11: Integrasi Numerik

11.1 Deskripsi Bab

Bab ini membahas integrasi numerik, yaitu metode untuk menghitung pendekatan nilai integral tentu menggunakan operasi aritmetika sederhana. Jika diferensiasi numerik digunakan untuk menghitung laju perubahan, maka integrasi numerik digunakan untuk menghitung akumulasi.

Dalam teknik elektro, integrasi numerik banyak digunakan untuk menghitung total energi, total muatan listrik, luas daerah di bawah kurva sinyal, dan besaran lain yang bersifat akumulatif. Pada banyak kasus, fungsi yang akan diintegralkan tidak tersedia dalam bentuk rumus, tetapi hanya berupa data hasil pengukuran.

Bab ini berfokus pada aturan trapezium, yaitu metode integrasi numerik yang sederhana dan mudah dipahami. Anda akan mempelajari aturan trapezium tunggal, aturan trapezium majemuk, analisis error, serta contoh penerapannya pada data teknik elektro.

---

11.2 Capaian Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. Menjelaskan konsep integrasi numerik sebagai pendekatan luas daerah di bawah kurva.
2. Membedakan integrasi analitik dan integrasi numerik.
3. Menjelaskan kapan integrasi numerik diperlukan.
4. Menggunakan aturan trapezium tunggal untuk menghitung integral tentu.
5. Menggunakan aturan trapezium majemuk untuk menghitung integral dengan beberapa segmen.
6. Menjelaskan pengaruh jumlah segmen terhadap akurasi hasil integrasi.
7. Menjelaskan error aturan trapezium.
8. Menerapkan integrasi numerik pada data diskret dalam konteks teknik elektro.

---

11.3 Materi Inti

11.3.1 Pengertian Integrasi Numerik

Integrasi numerik adalah teknik menghitung pendekatan nilai integral tentu dengan membagi daerah di bawah kurva menjadi beberapa bagian kecil yang luasnya mudah dihitung.

Secara matematis, integral tentu ditulis sebagai:

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

Integral tersebut dapat ditafsirkan sebagai luas daerah di bawah kurva (y=f(x)) dari (x=a) sampai (x=b).

Pada integrasi analitik, kita mencari antiturunan (F(x)), lalu menghitung:

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$

Namun, pada integrasi numerik, kita tidak mencari antiturunan. Kita langsung memperkirakan luas daerah di bawah kurva menggunakan pendekatan geometris.

---

11.3.2 Mengapa Integrasi Numerik Dibutuhkan?

Integrasi numerik diperlukan ketika integral sulit atau tidak mungkin diselesaikan secara analitik. Selain itu, integrasi numerik juga dibutuhkan ketika data hanya tersedia dalam bentuk tabel.

Beberapa alasan utama penggunaan integrasi numerik adalah:

Alasan	Penjelasan
Fungsi sulit diintegralkan secara analitik	Beberapa fungsi tidak memiliki antiturunan elementer.
Data hanya tersedia dalam tabel	Data sensor atau eksperimen sering tidak memiliki rumus fungsi.
Perhitungan harus dilakukan komputer	Komputer lebih mudah menjumlahkan nilai numerik daripada memanipulasi simbol.
Besaran yang dicari bersifat akumulatif	Contohnya energi, muatan, luas, volume, dan kerja.

Contoh integral yang mudah diselesaikan secara analitik:

$$\int_0^1 3x^2\,dx$$

Karena antiturunannya tersedia:

$$\int_0^1 3x^2\,dx = [x^3]_0^1 = 1$$

Namun, untuk fungsi seperti:

$$\int_0^1 \frac{\sin(x)}{x}\,dx$$

integral tersebut tidak memiliki antiturunan elementer yang sederhana. Karena itu, pendekatan numerik menjadi pilihan praktis.

---

11.3.3 Integral sebagai Luas Daerah

Semua metode integrasi numerik berangkat dari ide sederhana:

Daerah di bawah kurva dibagi menjadi beberapa bagian kecil, lalu luas setiap bagian dijumlahkan.

Bagian kecil tersebut dapat berbentuk:

Bentuk Pias	Metode
Persegi panjang	Aturan Riemann
Trapesium	Aturan Trapezium
Parabola	Aturan Simpson
Titik khusus berbobot	Kuadratur Gauss

Pada bab ini, fokus utama adalah aturan trapezium karena konsepnya paling mudah divisualisasikan dan menjadi dasar untuk memahami metode integrasi lain.

---

11.3.4 Klasifikasi Metode Integrasi Numerik

Beberapa metode integrasi numerik yang umum digunakan adalah:

Metode	Karakteristik
Aturan Persegi Panjang	Mendekati luas dengan persegi panjang. Paling sederhana, tetapi kurang akurat.
Aturan Trapezium	Mendekati luas dengan trapesium. Lebih akurat daripada persegi panjang.
Aturan Simpson 1/3	Mendekati kurva dengan polinomial kuadratik. Lebih akurat untuk fungsi halus.
Aturan Simpson 3/8	Menggunakan pendekatan polinomial kubik.
Kuadratur Gauss	Menggunakan titik dan bobot khusus untuk akurasi tinggi.

Bab ini membahas aturan trapezium karena metode ini sederhana, intuitif, dan cocok sebagai pengantar integrasi numerik.

---

11.3.5 Aturan Trapezium Tunggal

Aturan trapezium tunggal memperkirakan luas daerah di bawah kurva dengan satu trapesium. Misalkan kita ingin menghitung:

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

Pada interval ([a,b]), nilai fungsi pada ujung kiri adalah (f(a)), sedangkan nilai fungsi pada ujung kanan adalah (f(b)). Jika kedua titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, maka daerah di bawah garis tersebut membentuk trapesium.

Rumus luas trapesium adalah:

$$L = \frac{1}{2} \times \text{jumlah sisi sejajar} \times \text{tinggi}$$

Dalam konteks integral:

• Sisi sejajar adalah (f(a)) dan (f(b))
• Tinggi trapesium adalah (b-a)

Maka aturan trapezium tunggal adalah:

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\left[f(a)+f(b)\right]$$

Aturan ini sederhana, tetapi kurang akurat jika kurva sangat melengkung pada interval yang lebar.

---

11.3.6 Aturan Trapezium Majemuk

Aturan trapezium majemuk digunakan untuk meningkatkan akurasi. Caranya adalah membagi interval ([a,b]) menjadi beberapa segmen kecil, lalu menerapkan aturan trapezium pada setiap segmen.

Misalkan interval ([a,b]) dibagi menjadi (n) segmen dengan lebar sama:

$$h = \frac{b-a}{n}$$

Titik-titik pembagi adalah:

$$x_0=a,\quad x_1=a+h,\quad x_2=a+2h,\quad \ldots,\quad x_n=b$$

Untuk setiap segmen, luas trapesium kecil dihitung, lalu semuanya dijumlahkan. Setelah disederhanakan, rumus aturan trapezium majemuk adalah:

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n) \right]$$

Atau dapat ditulis:

$$L \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_0)+2(f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1}))+f(x_n) \right]$$

Keterangan bobot:

Titik	Bobot
Titik ujung (x_0) dan (x_n)	1
Titik tengah (x_1, x_2, \ldots, x_{n-1})	2

Semakin banyak segmen yang digunakan, nilai (h) semakin kecil dan hasil integrasi biasanya semakin akurat.

---

11.3.7 Pengaruh Jumlah Segmen

Jumlah segmen (n) memengaruhi lebar langkah (h). Karena:

$$h = \frac{b-a}{n}$$

maka semakin besar (n), semakin kecil (h).

Jumlah Segmen (n)	Lebar (h)	Dampak Umum
Kecil	Besar	Perhitungan cepat, tetapi error lebih besar
Besar	Kecil	Perhitungan lebih banyak, tetapi error lebih kecil
Terlalu besar	Sangat kecil	Error pembulatan dapat mulai berpengaruh

Dalam praktik, jumlah segmen perlu dipilih secara seimbang. Segmen terlalu sedikit membuat hasil kasar. Segmen terlalu banyak dapat meningkatkan beban komputasi dan potensi akumulasi error pembulatan.

---

11.3.8 Analisis Error Aturan Trapezium

Untuk fungsi yang memiliki turunan kedua kontinu pada interval ([a,b]), error aturan trapezium majemuk berorde:

$$O(h^2)$$

Artinya, jika (h) diperkecil menjadi setengah, maka error biasanya turun sekitar empat kali.

Secara umum, error aturan trapezium majemuk dapat ditulis sebagai:

$$E_t = -\frac{(b-a)}{12}h^2 f''(\xi)$$

dengan (\xi) berada di dalam interval ([a,b]).

Dari rumus tersebut, dapat dipahami bahwa error dipengaruhi oleh:

Faktor	Pengaruh
Nilai (h)	Semakin kecil (h), error semakin kecil
Kelengkungan fungsi (f''(x))	Fungsi yang lebih melengkung menghasilkan error lebih besar
Panjang interval (b-a)	Interval lebih panjang dapat meningkatkan error

Jika fungsi hampir linear, aturan trapezium dapat sangat akurat. Jika fungsi sangat melengkung, jumlah segmen perlu ditambah.

---

11.3.9 Aplikasi Integrasi Numerik dalam Teknik Elektro

Integrasi numerik banyak digunakan dalam teknik elektro untuk menghitung besaran akumulatif.

Aplikasi	Bentuk Integral
Total energi listrik	(W = \int P(t),dt)
Total muatan listrik	(Q = \int i(t),dt)
Nilai rata-rata sinyal	(\bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x),dx)
Nilai RMS sinyal	(X_{\text{RMS}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T x^2(t),dt})
Analisis daya	Energi dihitung dari integrasi daya terhadap waktu

Contoh sederhana:

Jika daya (P(t)) sebuah perangkat dicatat setiap detik, maka total energi dapat dihitung dengan:

$$W = \int P(t)\,dt$$

Karena data daya biasanya berbentuk tabel, aturan trapezium dapat digunakan untuk memperkirakan energi total.

---

11.4 Fitur Interaktif

Bagian ini dapat digunakan sebagai rancangan komponen interaktif pada halaman web.

11.4.1 Simulator Integrasi Numerik

Input yang disediakan:

• Fungsi (f(x))
• Batas bawah (a)
• Batas atas (b)
• Jumlah segmen (n)
• Metode:
  • Trapezium tunggal
  • Trapezium majemuk
  • Simpson jika ingin dikembangkan nanti

Output yang ditampilkan:

• Nilai (h)
• Tabel nilai (x_i) dan (f(x_i))
• Hasil aproksimasi integral
• Nilai eksak jika tersedia
• Error absolut dan error relatif

---

11.4.2 Graph Panel

Graph panel menampilkan:

1. Kurva (y=f(x)).
2. Batas integral (a) dan (b).
3. Area di bawah kurva.
4. Bentuk trapesium pada setiap segmen.
5. Perbandingan area kurva asli dan area pendekatan.

Visualisasi ini membantu mahasiswa memahami bahwa integrasi numerik adalah pendekatan luas daerah.

---

11.4.3 Slider Jumlah Segmen

Mahasiswa dapat mengubah jumlah segmen (n) menggunakan slider.

Yang diamati:

Perubahan (n)	Dampak
(n) kecil	Trapesium sedikit, hasil lebih kasar
(n) besar	Trapesium lebih banyak, hasil lebih akurat
(h) makin kecil	Error biasanya menurun

Fitur ini membantu mahasiswa melihat bahwa semakin banyak segmen, bentuk trapesium semakin mengikuti kurva.

---

11.4.4 Compare Mode

Compare mode menampilkan hasil beberapa metode dalam satu layar.

Contoh:

Metode	Jumlah Segmen	Hasil Integral	Error
Trapezium tunggal	1	4,000	1,333
Trapezium majemuk	4	2,750	0,083
Trapezium majemuk	10	2,680	0,013

Tujuannya adalah menunjukkan bahwa pembagian interval menjadi segmen yang lebih kecil dapat meningkatkan akurasi.

---

11.4.5 Mini Quiz Interaktif

Contoh kuis interaktif:

1. Apa arti integral numerik secara geometris?
2. Apa yang terjadi jika jumlah segmen trapezium ditambah?
3. Titik mana yang memiliki bobot 2 pada aturan trapezium majemuk?
4. Benar atau salah: aturan trapezium tunggal selalu lebih akurat daripada trapezium majemuk.
5. Jika (h) diperkecil menjadi setengah, error aturan trapezium majemuk turun kira-kira berapa kali?

---

11.5 Contoh Soal

Contoh 11.1 Trapezium Tunggal untuk (f(x)=x^2)

Hitung:

$$\int_0^2 x^2\,dx$$

menggunakan aturan trapezium tunggal. Bandingkan dengan nilai eksaknya.

Penyelesaian

Diketahui:

$$f(x)=x^2$$ $$a=0,\quad b=2$$

Nilai fungsi pada titik ujung:

$$f(0)=0^2=0$$ $$f(2)=2^2=4$$

Rumus trapezium tunggal:

$$L \approx \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$$

Substitusi:

$$L \approx \frac{2-0}{2}[0+4]$$ $$L \approx 1(4)$$ $$L \approx 4$$

Nilai eksak:

$$\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2$$ $$= \frac{8}{3}$$ $$\approx 2{,}667$$

Error absolut:

$$E_a = |4-2{,}667|$$ $$E_a = 1{,}333$$

Jadi, aturan trapezium tunggal menghasilkan error cukup besar karena fungsi (x^2) melengkung pada interval ([0,2]).

---

Contoh 11.2 Trapezium Majemuk untuk (f(x)=x^2)

Hitung:

$$\int_0^2 x^2\,dx$$

menggunakan aturan trapezium majemuk dengan (n=4).

Penyelesaian

Diketahui:

$$a=0,\quad b=2,\quad n=4$$

Lebar segmen:

$$h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{4}=0{,}5$$

Tabel nilai fungsi:

(x_i)	(f(x_i)=x_i^2)
0,0	0,00
0,5	0,25
1,0	1,00
1,5	2,25
2,0	4,00

Rumus trapezium majemuk:

$$L \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_0)+2(f(x_1)+f(x_2)+f(x_3))+f(x_4) \right]$$

Substitusi:

$$L \approx \frac{0{,}5}{2} \left[ 0+2(0{,}25+1+2{,}25)+4 \right]$$ $$L \approx 0{,}25[0+2(3{,}5)+4]$$ $$L \approx 0{,}25(11)$$ $$L \approx 2{,}75$$

Nilai eksak:

$$\frac{8}{3} \approx 2{,}667$$

Error absolut:

$$E_a = |2{,}75-2{,}667|$$ $$E_a \approx 0{,}083$$

Hasil ini jauh lebih baik dibanding trapezium tunggal.

---

Contoh 11.3 Trapezium Majemuk untuk (\int_0^1 3x^2,dx)

Hitung:

$$\int_0^1 3x^2\,dx$$

menggunakan aturan trapezium majemuk dengan (h=0{,}1).

Penyelesaian

Karena:

$$a=0,\quad b=1,\quad h=0{,}1$$

maka jumlah segmen:

$$n=\frac{b-a}{h}=\frac{1-0}{0{,}1}=10$$

Tabel nilai fungsi:

(x)	(f(x)=3x^2)
0,0	0,00
0,1	0,03
0,2	0,12
0,3	0,27
0,4	0,48
0,5	0,75
0,6	1,08
0,7	1,47
0,8	1,92
0,9	2,43
1,0	3,00

Titik ujung:

$$f(0)=0$$ $$f(1)=3$$

Jumlah titik tengah:

$$0{,}03+0{,}12+0{,}27+0{,}48+0{,}75+1{,}08+1{,}47+1{,}92+2{,}43=8{,}55$$

Rumus trapezium majemuk:

$$L \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)+f(x_n) \right]$$

Substitusi:

$$L \approx \frac{0{,}1}{2}[0+2(8{,}55)+3]$$ $$L \approx 0{,}05(20{,}1)$$ $$L \approx 1{,}005$$

Nilai eksak:

$$\int_0^1 3x^2\,dx = [x^3]_0^1 = 1$$

Error absolut:

$$E_a = |1{,}005-1|$$ $$E_a = 0{,}005$$

Jadi, hasil aturan trapezium majemuk adalah (1{,}005) dengan error (0{,}005).

---

Contoh 11.4 Total Muatan dari Data Arus

Sebuah ammeter mencatat arus baterai setiap 1 detik sebagai berikut.

(t) dalam s	0	1	2	3	4	5
(I(t)) dalam A	2,00	1,80	1,55	1,30	1,00	0,75

Hitung total muatan listrik yang mengalir selama 5 detik.

Diketahui:

$$Q = \int I(t)\,dt$$

Penyelesaian

Gunakan aturan trapezium majemuk dengan:

$$h=1$$

Titik ujung:

$$I(0)=2{,}00$$ $$I(5)=0{,}75$$

Jumlah titik tengah:

$$I(1)+I(2)+I(3)+I(4)=1{,}80+1{,}55+1{,}30+1{,}00=5{,}65$$

Rumus:

$$Q \approx \frac{h}{2} \left[ I(0)+2(I(1)+I(2)+I(3)+I(4))+I(5) \right]$$

Substitusi:

$$Q \approx \frac{1}{2} \left[ 2{,}00+2(5{,}65)+0{,}75 \right]$$ $$Q \approx 0{,}5(14{,}05)$$ $$Q \approx 7{,}025$$

Jadi, total muatan listrik yang mengalir adalah:

$$Q \approx 7{,}025 \text{ C}$$

---

Contoh 11.5 Total Energi dari Data Daya

Sebuah sensor daya mencatat data berikut.

(t) dalam jam	8	10	12	14	16
(P(t)) dalam W	200	600	900	700	300

Estimasi total energi yang dihasilkan dalam satuan Wh.

Penyelesaian

Diketahui jarak waktu antar data:

$$h=2 \text{ jam}$$

Energi dihitung dengan:

$$W = \int P(t)\,dt$$

Gunakan aturan trapezium majemuk.

Titik ujung:

$$P(8)=200$$ $$P(16)=300$$

Jumlah titik tengah:

$$P(10)+P(12)+P(14)=600+900+700=2200$$

Rumus:

$$W \approx \frac{h}{2} \left[ P(8)+2(P(10)+P(12)+P(14))+P(16) \right]$$

Substitusi:

$$W \approx \frac{2}{2} \left[ 200+2(2200)+300 \right]$$ $$W \approx 1(4900)$$ $$W \approx 4900 \text{ Wh}$$

Jadi, total energi yang dihasilkan diperkirakan sebesar:

$$4900 \text{ Wh}$$

atau:

$$4{,}9 \text{ kWh}$$

---

11.6 Kuis

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat.

1. Integrasi numerik digunakan untuk...

   a. Mencari akar persamaan nonlinear
   b. Menghitung pendekatan integral tentu
   c. Mengubah data menjadi matriks
   d. Menyelesaikan sistem persamaan linear

2. Integral tentu secara geometris dapat ditafsirkan sebagai...

   a. Kemiringan garis singgung
   b. Luas daerah di bawah kurva
   c. Titik potong sumbu (x)
   d. Nilai maksimum fungsi

3. Aturan trapezium tunggal untuk (\int_a^b f(x),dx) adalah...

   a. ((b-a)f(a))
   b. (\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)])
   c. ((b+a)[f(a)-f(b)])
   d. (\frac{f(b)-f(a)}{b-a})

4. Pada aturan trapezium majemuk, titik tengah memiliki bobot...

   a. 1
   b. 2
   c. 3
   d. 4

5. Jika jumlah segmen (n) diperbesar, maka nilai (h) akan...

   a. Membesar
   b. Mengecil
   c. Tetap sama
   d. Menjadi nol selalu

6. Error aturan trapezium majemuk berorde...

   a. (O(h))
   b. (O(h^2))
   c. (O(h^3))
   d. (O(h^4))

7. Jika (h) diperkecil menjadi setengah, error aturan trapezium majemuk biasanya turun sekitar...

   a. 2 kali
   b. 4 kali
   c. 8 kali
   d. 16 kali

8. Contoh aplikasi integrasi numerik dalam teknik elektro adalah...

   a. Mencari akar persamaan kuadrat
   b. Menghitung total energi dari data daya terhadap waktu
   c. Menentukan pivot pada matriks
   d. Mengurutkan data sensor

9. Jika fungsi sangat melengkung, aturan trapezium tunggal biasanya...

   a. Sangat akurat
   b. Tidak memiliki error
   c. Kurang akurat
   d. Tidak dapat dihitung sama sekali

10. Besaran (Q=\int I(t),dt) menyatakan...

a. Tegangan total
b. Total muatan listrik
c. Hambatan listrik
d. Frekuensi sinyal

---

11.7 Latihan

Kerjakan latihan berikut secara sistematis.

1. Hitung:

   $$\int_0^1 e^x\,dx$$

   menggunakan aturan trapezium majemuk dengan:

   a. (n=4)
   b. (n=8)

   Bandingkan hasilnya dengan nilai eksak:

   $$e-1 \approx 1{,}71828$$

2. Hitung:

   $$\int_0^2 (1+x)^2\,dx$$

   menggunakan:

   a. Aturan trapezium tunggal
   b. Aturan trapezium majemuk dengan (n=4)

   Bandingkan dengan nilai eksak.

3. Sebuah sensor daya mencatat data berikut:

   (t) dalam s	0	1	2	3	4
   (P(t)) dalam W	10	15	18	14	9

   Estimasikan total energi dalam joule menggunakan aturan trapezium majemuk.

4. Sebuah arus listrik dicatat setiap 0,5 detik:

   (t) dalam s	0	0,5	1,0	1,5	2,0
   (I(t)) dalam A	1,0	1,4	1,6	1,3	1,1

   Hitung total muatan listrik selama 2 detik.

5. Jelaskan mengapa aturan trapezium majemuk lebih akurat daripada trapezium tunggal.

6. Jelaskan dengan kalimat sendiri hubungan antara jumlah segmen, lebar (h), dan error.

7. Berikan satu contoh kasus teknik elektro yang membutuhkan integrasi numerik dari data diskret.

---

11.8 Rangkuman

1. Integrasi numerik adalah teknik menghitung pendekatan integral tentu menggunakan operasi aritmetika.
2. Integral tentu dapat ditafsirkan sebagai luas daerah di bawah kurva.
3. Integrasi numerik digunakan ketika integral analitik sulit atau data hanya tersedia dalam bentuk tabel.
4. Aturan trapezium tunggal menggunakan satu trapesium untuk mendekati luas daerah.
5. Rumus trapezium tunggal adalah (\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]).
6. Aturan trapezium majemuk membagi interval menjadi beberapa segmen kecil.
7. Rumus trapezium majemuk adalah (\frac{h}{2}[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)]).
8. Pada trapezium majemuk, titik ujung memiliki bobot 1, sedangkan titik tengah memiliki bobot 2.
9. Error aturan trapezium majemuk berorde (O(h^2)).
10. Jika (h) diperkecil menjadi setengah, error biasanya turun sekitar empat kali.
11. Integrasi numerik banyak digunakan dalam teknik elektro untuk menghitung energi, muatan listrik, nilai rata-rata, RMS, dan besaran akumulatif lainnya.
12. Pemilihan jumlah segmen perlu mempertimbangkan keseimbangan antara akurasi dan efisiensi komputasi.