Bab 5: Diferensiasi Data Diskret

5.1 Deskripsi Bab

Pada bab sebelumnya, Anda telah mempelajari diferensiasi numerik untuk fungsi yang rumusnya diketahui, seperti (f(x)=\sin(x)), (f(x)=e^x), atau (f(x)=x^2). Dalam kondisi seperti itu, nilai (f(x+h)) dan (f(x-h)) dapat dihitung langsung dari rumus fungsi.

Namun, pada banyak kasus nyata, kita tidak memiliki rumus fungsi. Data yang tersedia hanya berupa tabel hasil pengukuran, misalnya data tegangan setiap detik, suhu panel surya setiap menit, arus listrik dari smart meter, atau sinyal hasil sampling ADC.

Bab ini membahas cara menghitung turunan dari data berbentuk tabel. Tiga pendekatan utama yang dipelajari adalah finite difference untuk data diskret, direct polynomial fit, dan polinomial Lagrange. Ketiganya membantu kita memahami bagaimana data diskret dapat diolah menjadi informasi laju perubahan.

---

5.2 Capaian Pembelajaran

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. Menjelaskan pengertian data diskret.
2. Membedakan data diskret dan fungsi kontinu.
3. Menggunakan rumus forward difference, backward difference, dan central difference pada tabel data.
4. Menjelaskan keterbatasan finite difference pada data diskret.
5. Membangun polinomial pendekatan menggunakan direct polynomial fit.
6. Membangun polinomial interpolasi menggunakan metode Lagrange.
7. Menjelaskan hubungan antara interpolasi dan turunan numerik.
8. Memilih metode yang sesuai berdasarkan karakteristik data.

---

5.3 Materi Inti

5.3.1 Apa Itu Data Diskret?

Data diskret adalah data yang hanya tersedia pada titik-titik tertentu. Data ini biasanya ditulis dalam bentuk pasangan:

$$(x_i, y_i)$$

dengan (x_i) sebagai variabel bebas dan (y_i) sebagai nilai hasil pengukuran atau pengamatan.

Contoh data diskret:

Waktu (t)	Tegangan (V(t))
0	0,0
1	1,8
2	3,2
3	4,1
4	4,7

Pada data tersebut, kita hanya mengetahui nilai tegangan pada (t=0), (t=1), (t=2), (t=3), dan (t=4). Kita tidak langsung mengetahui nilai tegangan pada (t=1{,}5) atau (t=2{,}7), kecuali dilakukan pendekatan.

Dalam teknik elektro, data diskret sering muncul pada:

Sumber Data	Contoh
Sensor digital	Pembacaan suhu, tegangan, arus, kelembapan
ADC	Sinyal analog yang telah disampling
Smart meter	Data konsumsi energi setiap interval waktu
Eksperimen laboratorium	Data arus, tegangan, resistansi, atau frekuensi

---

5.3.2 Mengapa Diferensiasi Data Diskret Berbeda?

Pada fungsi kontinu, kita dapat memilih nilai (h) sekecil mungkin. Misalnya, untuk fungsi (f(x)=\sin(x)), kita dapat menghitung (f(x+0{,}01)) atau (f(x+0{,}001)) kapan saja.

Pada data diskret, nilai (h) sudah ditentukan oleh jarak antar data. Jika data sensor direkam setiap 1 detik, maka jarak terkecil antar data adalah 1 detik. Kita tidak bisa langsung menggunakan (h=0{,}1) jika data pada titik tersebut tidak tersedia.

Tantangan utama pada data diskret adalah:

Tantangan	Penjelasan
Jarak data terbatas	Nilai (h) mengikuti interval pengambilan data.
Data dapat mengandung noise	Setiap data hasil pengukuran dapat memiliki error.
Data tidak selalu seragam	Jarak antar titik kadang tidak sama.
Tidak ada rumus fungsi eksplisit	Nilai antara harus didekati dengan interpolasi.

Karena itu, diferensiasi data diskret tidak hanya membutuhkan rumus turunan, tetapi juga pemahaman terhadap karakter data.

---

5.3.3 Finite Difference untuk Data Diskret

Finite difference adalah pendekatan paling langsung untuk menghitung turunan dari data diskret. Rumus yang digunakan sama dengan rumus beda hingga pada bab sebelumnya, tetapi nilai fungsi diambil dari tabel data.

Misalkan data tersedia pada titik:

$$(x_{i-1}, y_{i-1}), \quad (x_i, y_i), \quad (x_{i+1}, y_{i+1})$$

dengan jarak seragam:

$$h = x_{i+1} - x_i$$

Maka rumus finite difference adalah:

Metode	Rumus
Forward difference	(f'(x_i) \approx \frac{y_{i+1}-y_i}{h})
Backward difference	(f'(x_i) \approx \frac{y_i-y_{i-1}}{h})
Central difference	(f'(x_i) \approx \frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h})

Finite difference cocok digunakan jika data memiliki jarak seragam dan perhitungan harus dilakukan secara cepat.

---

5.3.4 Keterbatasan Finite Difference

Finite difference mudah digunakan, tetapi memiliki beberapa keterbatasan.

Keterbatasan	Penjelasan
Bergantung pada jarak data	Jika data terlalu jarang, hasil turunan dapat kurang akurat.
Sensitif terhadap noise	Selisih antar data dapat memperbesar pengaruh noise.
Terbatas pada titik data	Turunan hanya dapat dihitung pada titik yang tersedia.
Kurang cocok untuk data tidak seragam	Rumus standar mengasumsikan jarak antar titik sama.

Jika data tidak seragam atau kita ingin menghitung turunan pada titik yang tidak tersedia di tabel, pendekatan polinomial dapat digunakan.

---

5.3.5 Direct Polynomial Fit

Direct polynomial fit adalah metode membangun polinomial yang melewati beberapa titik data, lalu menurunkan polinomial tersebut secara analitik.

Jika digunakan tiga titik data, maka polinomial yang dibentuk biasanya berderajat dua:

$$P(x) = ax^2 + bx + c$$

Karena ada tiga koefisien, yaitu (a), (b), dan (c), maka diperlukan tiga titik data untuk menyusun tiga persamaan.

Setelah polinomial diperoleh, turunannya adalah:

$$P'(x) = 2ax + b$$

Kelebihan direct polynomial fit adalah turunan dapat dihitung tidak hanya pada titik data, tetapi juga pada titik lain di sekitar data tersebut.

---

5.3.6 Polinomial Lagrange

Polinomial Lagrange adalah metode interpolasi yang membangun polinomial langsung dari titik-titik data tanpa menyelesaikan sistem persamaan linear.

Untuk (n+1) titik data:

$$(x_0,y_0), (x_1,y_1), \ldots, (x_n,y_n)$$

polinomial Lagrange ditulis sebagai:

$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$

dengan basis Lagrange:

$$L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

Untuk tiga titik data, polinomial Lagrange berderajat dua:

$$P(x)=y_0L_0(x)+y_1L_1(x)+y_2L_2(x)$$

dengan:

$$L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}$$ $$L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}$$ $$L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$$

Metode Lagrange sangat berguna ketika data tidak memiliki jarak seragam.

---

5.3.7 Hubungan Interpolasi dan Turunan Numerik

Interpolasi dan diferensiasi numerik saling berhubungan. Interpolasi digunakan untuk membangun fungsi sementara dari data diskret. Setelah fungsi sementara diperoleh, fungsi tersebut dapat diturunkan secara analitik.

Alurnya dapat diringkas sebagai berikut:

Tahap	Proses
1	Data diskret tersedia dalam bentuk tabel.
2	Polinomial interpolasi dibangun dari data.
3	Polinomial dianggap sebagai fungsi pendekatan.
4	Polinomial diturunkan untuk memperoleh turunan numerik.

Dengan kata lain, interpolasi mengubah data diskret menjadi bentuk fungsi, sedangkan diferensiasi numerik mengambil informasi laju perubahan dari fungsi pendekatan tersebut.

---

5.3.8 Perbandingan Metode

Aspek	Finite Difference	Direct Polynomial Fit	Polinomial Lagrange
Cara kerja	Menghitung selisih langsung dari tabel	Membangun polinomial melalui sistem persamaan	Membangun polinomial dengan basis Lagrange
Kompleksitas	Rendah	Sedang	Sedang
Data seragam	Sangat cocok	Cocok	Cocok
Data tidak seragam	Kurang cocok	Bisa digunakan	Sangat cocok
Hasil di antara titik	Tidak langsung	Bisa	Bisa
Aplikasi	Sensor real-time	Analisis dan prediksi	Data eksperimen tidak seragam

Prinsip praktis pemilihan metode:

1. Gunakan finite difference jika data seragam dan butuh perhitungan cepat.
2. Gunakan direct polynomial fit jika ingin memperoleh fungsi pendekatan sederhana.
3. Gunakan Lagrange jika data tidak seragam dan ingin membangun polinomial interpolasi secara langsung.

---

5.4 Fitur Interaktif

Bagian ini dapat digunakan sebagai rancangan komponen interaktif pada halaman web.

5.4.1 Input Tabel Data

Mahasiswa dapat memasukkan pasangan data:

(x)	(y)
0	0
1	4
2	9
3	16
4	25

Sistem kemudian menampilkan grafik titik data dan pilihan metode diferensiasi.

---

5.4.2 Titik Data Bisa Digeser

Pada graph panel, mahasiswa dapat menggeser titik data. Saat titik digeser, sistem langsung memperbarui:

1. Kurva interpolasi.
2. Hasil finite difference.
3. Polinomial pendekatan.
4. Turunan lokal pada titik tertentu.

Fitur ini membantu mahasiswa melihat pengaruh perubahan data terhadap hasil turunan.

---

5.4.3 Compare Mode

Compare mode menampilkan hasil tiga metode secara berdampingan.

Contoh tampilan:

Metode	Hasil Turunan
Forward difference	7
Backward difference	5
Central difference	6
Direct polynomial fit	6
Lagrange	6

Tujuannya adalah membantu mahasiswa memahami bahwa beberapa metode dapat menghasilkan nilai yang berbeda karena cara melihat data juga berbeda.

---

5.4.4 Graph-Based Quiz

Contoh kuis berbasis grafik:

1. Grafik menunjukkan data penjualan naik lalu turun. Apa arti turunan negatif?
2. Titik mana yang paling cocok digunakan untuk central difference?
3. Jika data tidak seragam, metode mana yang lebih cocok digunakan?
4. Apakah kurva interpolasi selalu harus melewati semua titik data?

---

5.5 Contoh Soal

Contoh 5.1 Forward, Backward, dan Central Difference dari Tabel

Sebuah sensor merekam ketinggian drone seperti tabel berikut.

(t)	(h(t))
0	0
1	4
2	9
3	16
4	25

Hitung kecepatan vertikal drone pada (t=2) menggunakan forward difference, backward difference, dan central difference. Gunakan (h=1).

Penyelesaian

Forward difference:

$$v(2) \approx \frac{h(3)-h(2)}{1}$$ $$v(2) \approx \frac{16-9}{1}=7$$

Backward difference:

$$v(2) \approx \frac{h(2)-h(1)}{1}$$ $$v(2) \approx \frac{9-4}{1}=5$$

Central difference:

$$v(2) \approx \frac{h(3)-h(1)}{2(1)}$$ $$v(2) \approx \frac{16-4}{2}=6$$

Jadi, hasil estimasi kecepatan vertikal pada (t=2) adalah:

Metode	Hasil
Forward difference	7
Backward difference	5
Central difference	6

Central difference memberikan hasil yang lebih seimbang karena menggunakan data di kiri dan kanan titik yang dihitung.

---

Contoh 5.2 Direct Polynomial Fit

Diberikan tiga titik data:

$$(1,2), \quad (2,5), \quad (3,10)$$

Bangun polinomial kuadrat yang melewati ketiga titik tersebut, lalu hitung turunannya pada (x=2).

Penyelesaian

Misalkan:

$$P(x)=ax^2+bx+c$$

Substitusi titik pertama:

$$a+b+c=2$$

Substitusi titik kedua:

$$4a+2b+c=5$$

Substitusi titik ketiga:

$$9a+3b+c=10$$

Kurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama:

$$3a+b=3$$

Kurangkan persamaan ketiga dengan persamaan kedua:

$$5a+b=5$$

Kurangkan kedua persamaan tersebut:

$$2a=2$$ $$a=1$$

Substitusi ke (3a+b=3):

$$3(1)+b=3$$ $$b=0$$

Substitusi ke (a+b+c=2):

$$1+0+c=2$$ $$c=1$$

Maka:

$$P(x)=x^2+1$$

Turunannya:

$$P'(x)=2x$$

Nilai turunan pada (x=2):

$$P'(2)=2(2)=4$$

Jadi, turunan numerik pada (x=2) adalah 4.

---

Contoh 5.3 Polinomial Lagrange

Gunakan polinomial Lagrange derajat dua untuk titik:

$$(0,1), \quad (1,3), \quad (3,13)$$

Hitung nilai pendekatan pada (x=2).

Penyelesaian

Basis Lagrange:

$$L_0(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(0-1)(0-3)}$$ $$L_1(x)=\frac{(x-0)(x-3)}{(1-0)(1-3)}$$ $$L_2(x)=\frac{(x-0)(x-1)}{(3-0)(3-1)}$$

Untuk (x=2):

$$L_0(2)=\frac{(2-1)(2-3)}{(0-1)(0-3)}=\frac{1(-1)}{3}=-\frac{1}{3}$$ $$L_1(2)=\frac{(2-0)(2-3)}{(1-0)(1-3)}=\frac{2(-1)}{-2}=1$$ $$L_2(2)=\frac{(2-0)(2-1)}{(3-0)(3-1)}=\frac{2(1)}{6}=\frac{1}{3}$$

Polinomial Lagrange:

$$P(2)=y_0L_0(2)+y_1L_1(2)+y_2L_2(2)$$ $$P(2)=1\left(-\frac{1}{3}\right)+3(1)+13\left(\frac{1}{3}\right)$$ $$P(2)=-\frac{1}{3}+3+\frac{13}{3}$$ $$P(2)=7$$

Jadi, hasil interpolasi pada (x=2) adalah 7.

---

Contoh 5.4 Interpretasi Turunan pada Data Penjualan

Diberikan data penjualan berikut.

Hari	8	9	10	11	12
Penjualan	60	75	80	70	60

Hitung laju perubahan penjualan pada hari ke-10 menggunakan forward, backward, dan central difference. Gunakan (h=1).

Penyelesaian

Forward difference:

$$f'(10) \approx \frac{f(11)-f(10)}{1}$$ $$f'(10) \approx 70-80=-10$$

Backward difference:

$$f'(10) \approx \frac{f(10)-f(9)}{1}$$ $$f'(10) \approx 80-75=5$$

Central difference:

$$f'(10) \approx \frac{f(11)-f(9)}{2}$$ $$f'(10) \approx \frac{70-75}{2}=-2{,}5$$

Interpretasi:

Metode	Hasil	Makna
Forward difference	-10	Setelah hari ke-10, penjualan menurun.
Backward difference	5	Sebelum hari ke-10, penjualan masih meningkat.
Central difference	-2,5	Di sekitar hari ke-10, tren mulai berbalik turun.

Nilai negatif menunjukkan bahwa penjualan sedang mengalami penurunan pada arah waktu yang diamati.

---

5.6 Kuis

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat.

1. Data diskret adalah...

   a. Data yang tersedia pada semua titik
   b. Data yang hanya tersedia pada titik-titik tertentu
   c. Data yang selalu berbentuk bilangan bulat
   d. Data yang tidak memiliki nilai (x)

2. Contoh data diskret dalam teknik elektro adalah...

   a. Rumus (f(x)=\sin(x))
   b. Fungsi (e^x)
   c. Data tegangan yang direkam setiap 1 detik
   d. Persamaan kuadrat

3. Rumus forward difference untuk data diskret adalah...

   a. (\frac{y_{i+1}-y_i}{h})
   b. (\frac{y_i-y_{i-1}}{h})
   c. (\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h})
   d. (\frac{y_{i+1}+y_{i-1}}{h})

4. Rumus central difference untuk data diskret adalah...

   a. (\frac{y_{i+1}-y_i}{h})
   b. (\frac{y_i-y_{i-1}}{h})
   c. (\frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{2h})
   d. (\frac{y_i+y_{i-1}}{h})

5. Direct polynomial fit untuk tiga titik data biasanya menghasilkan polinomial...

   a. Linear
   b. Kuadrat
   c. Kubik
   d. Konstan

6. Keunggulan utama polinomial Lagrange adalah...

   a. Tidak memerlukan titik data
   b. Dapat membangun polinomial langsung dari titik data
   c. Selalu menghasilkan error nol untuk semua kasus
   d. Hanya berlaku untuk data seragam

7. Finite difference standar kurang cocok digunakan ketika...

   a. Data memiliki jarak seragam
   b. Data berasal dari sensor real-time
   c. Data memiliki jarak antar titik yang tidak seragam
   d. Data memiliki banyak titik berurutan

8. Jika turunan data penjualan bernilai negatif, maka maknanya adalah...

   a. Penjualan sedang meningkat
   b. Penjualan tidak berubah
   c. Penjualan sedang menurun
   d. Data tidak dapat dianalisis

---

5.7 Latihan

Kerjakan latihan berikut secara sistematis.

1. Diberikan data berikut:

   (t)	(y(t))
   0,1	1,105
   0,2	1,221
   0,3	1,350
   0,4	1,492

   Hitung (y'(0{,}2)) menggunakan forward difference, backward difference, dan central difference.

2. Diberikan tiga titik data:

   $$(0,1), \quad (1,4), \quad (2,9)$$

   Bangun polinomial kuadrat menggunakan direct polynomial fit, lalu hitung (P'(1)).

3. Gunakan polinomial Lagrange untuk data:

   $$(0,1), \quad (1,4), \quad (2,9)$$

   Tunjukkan bahwa polinomial yang diperoleh sama dengan hasil direct polynomial fit pada latihan sebelumnya.

4. Diberikan data tidak seragam:

   $$(1,2), \quad (2,6), \quad (4,30)$$

   Jelaskan mengapa finite difference standar tidak dapat langsung digunakan. Kemudian bangun polinomial Lagrange untuk data tersebut.

5. Sebuah sensor merekam tegangan setiap detik sebagai berikut:

   (t)	(V(t))
   0	0,00
   1	1,95
   2	4,08
   3	6,02
   4	7,98
   5	10,01

   Hitung estimasi (V'(2)) menggunakan central difference.

6. Jelaskan dengan kalimat sendiri hubungan antara interpolasi dan diferensiasi numerik.

---

5.8 Rangkuman

1. Data diskret adalah data yang hanya tersedia pada titik-titik tertentu.
2. Data diskret sering muncul pada hasil pengukuran sensor, eksperimen, dan proses sampling.
3. Diferensiasi data diskret berbeda dari diferensiasi fungsi kontinu karena nilai (h) ditentukan oleh jarak antar data.
4. Finite difference menghitung turunan langsung dari nilai-nilai tabel.
5. Rumus finite difference utama adalah forward difference, backward difference, dan central difference.
6. Direct polynomial fit membangun polinomial dari beberapa titik data, lalu menurunkannya secara analitik.
7. Polinomial Lagrange membangun polinomial interpolasi langsung dari titik data tanpa menyelesaikan sistem persamaan linear.
8. Interpolasi membantu membentuk fungsi pendekatan dari data diskret.
9. Setelah polinomial interpolasi diperoleh, turunan numerik dapat dihitung dengan menurunkan polinomial tersebut.
10. Pemilihan metode bergantung pada karakteristik data, seperti keseragaman jarak, jumlah titik, noise, dan kebutuhan akurasi.